アンダーフローという言葉の指す範囲が謎

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はじめに

アンダーフローという言葉を調べたが、どこまでの範囲をアンダーフローというかよくわからなくなってきた。

自分がわかったこと、逆にわからなかったことをまとめておく。

アンダーフローとは

・演算の結果の絶対値が小さくなった時に、正確に表現できない状態
・「下位桁溢れ」とも言う

以下の場合、アンダーフローというのだろうか？

1番目のケース：0に近いが0でない小さな数字が、0として表示される
2番目のケース：0に近いが0でない小さな数字が、不正確に表示される
3番目のケース：大きな数字に対して。小さな数字を足しても反映されない

1番目のケース：0に近いが0でない小さな数字が、0として表示される

float型であれば、1.401298E-45 (float型で表現できる最も0に近い小さな数字)より小さい数字を表現しようとした時に、0と表示される「場合がある」。

例えば、10の-46乗をfloat型で表現しようと試みた時に、0と表示される。

※ここで、「場合がある」というぼやけた表現を使ったのは10の-45乗という1.401298E-45より小さな数字を取り扱っても、0にならなかったため。プログラムの動きを見ると、1.401298E-45の半分以下になった時に、0と表示されている。

2番目のケース：0に近いが0でない小さな数字が、不正確に表示される

float型は2^(-127乗)より小さい数になると、精度が悪くなる。(10進法に直すと10の-38乗オーダーより小さい領域)。

※どうして精度が悪くなるかという理由については、以下の記事を参照してください。この後の議論では、この記事で書かれている程度のことはわかっている前提で進める。

ITの119番(ict119.com)

float型についてわかったことをまとめる

はじめにfloat型が32ビットで表現されることは知っていました。しかし、どうやって小数の数字を扱っているのか、あまりよくわかっていませんでした。この記事では、float型について私がわかったことを整理します。主な参考サイト浮動小数点数型と誤差単精度浮動小数点数(wiki) 非正規化数(wiki)※間違いがあったら、コメント欄で指摘していただけると助かります。32ビットの内訳1ビット：符号 8ビット：指数部 23ビット：仮数部符号(1ビット)－、＋かで0か1が割り振られる。指数部(8ビット)8ビットなので、byte型をイメージすると、0~...

例えば、10の-45乗を表示しようとしても、結果は1.401298E-45となる。0.4 E-45分ずれている。これは不正確である。

この場合、float型は10の-45乗を表現できていると言っていいのだろうか？

そして、このケースをアンダーフローと言っていいのだろうか？

この部分は、人によって意見が分かれそうな部分である。

仮にこの場合をアンダーフローと言っていいのなら、以下のような疑問がわく。

疑問1：2^(-127乗)より小さい数をアンダーフローと言っていいのか？

例えば、以下のサイトは、非正規化数(float型であれば2^(-127乗)より小さい領域)でしか表現できない状況は、アンダーフローに含まれるという定義をしている

IT用語辞典 e-Words

アンダーフローとは？ - IT用語辞典

アンダーフロー（underflow）とは、コンピュータで実数の計算をした結果の絶対値が小さすぎて正確に表現・計算できなくなってしまうこと。コンピュータでが扱う数値には表現できる限度があり、浮動小数点数の計算を行った結果が0に限りなく近い小さな数になってしまうと正確に表現できる限界を超えてしまうことがある。この状態がアンダーフローで、結果を0とみなしたり、仮数が0から始まる特殊な形式で値を表現したりする。

疑問2：非正規化数で、ピッタリ表現できる数字を宣言した時に、アンダーフローと言っていいのか？

例えば、1.401298E-45という数字を宣言した時に、この数字は2^(-127乗)より小さい数だが、ピッタリ表現できている。この時、アンダーフローが起きているといっていいのか？

もしも、この場合に対しては、アンダーフローが起きていないと主張するなら、許される精度はどこまでか？

1.401298E-45を表示しようとして、1.401298E-45と表示されるのはアンダーフローか？
1.40E-45を表示しようとして、1.401298E-45と表示されるのはアンダーフローか？
1.39E-45を表示しようとして、1.401298E-45と表示されるのはアンダーフローか？
1.30E-45を表示しようとして、1.401298E-45と表示されるのはアンダーフローか？
1.0E-45を表示しようとして、1.401298E-45と表示されるのはアンダーフローか？

3番目のケース：大きな数字に対して。小さな数字を足しても反映されない

例えば、float型であれば10の7乗(10000000)に対して、1を足しても10000001とはならず、10000000である。

アンダーフローが、扱う数値が細かくて、正しく扱えていないこと意味するのであれば、この状況はアンダーフローというのか？

結局、どこまでがアンダーフロー？

1番目のケース：0に近いが0でない小さな数字が、0として表示される
2番目のケース：0に近いが0でない小さな数字が、不正確に表示される
3番目のケース：大きな数字に対して。小さな数字を足しても反映されない

1番目のケースはアンダーフローと言っても問題ない。アンダーフローの記事をいくつか見たが、このケースこそがアンダーフローであると主張する記事もあった。

2番目のケースと3番目のケースはよくわからない。人によって言っていることがぶれている。私も何を信じればいいのかわからない。

ソースコード(言語はC#)

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace UnderFlow01
{
	class Program
	{
		static void Main(string[] args)
		{
			float f;

			f = (float)System.Math.Pow(10, -45);
			Console.WriteLine(f);

			f = 0.51f * (float)System.Math.Pow(10, -45);
			Console.WriteLine(f);

			f = 0.50f * (float)System.Math.Pow(10, -45);
			Console.WriteLine(f);

			f = (float)System.Math.Pow(10, -46);
			Console.WriteLine(f);


			f = 1000000f;
			f += 1;
			Console.WriteLine(f);

			f = 10000000f;
			f += 1;
			Console.WriteLine(f);

			f = 1f;
			f += 0.000001f;
			Console.WriteLine(f);

			f = 1f;
			f += 0.0000001f;
			Console.WriteLine(f);

			//doubleの場合
			double d;
			d=System.Math.Pow(10,14);
			d += 1;
			Console.WriteLine(d);

			d = System.Math.Pow(10, 15);
			d += 1;
			Console.WriteLine(d);
		}
	}
}