同じ誕生日の組がどれだけ存在するか?適当に見積もってみる

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はじめに

※追記:完成したアプリの紹介→同じ誕生日のペアがどのくらいいるかシミュレーション

昔、ある組織に所属しており、イベント用の問題を作らないといけなかった。

そこで私が、同じ誕生日の人が何組あるかという問題を思いついた。

名簿上は120人ほどの集まりであった。

同じ誕生日の人って結構レアだし、当初は、せいぜい10組程度だろうと高をくくっていた。

だが、数えてみると20組近くもいた。

120人という集団の中で、20組ということは、40人がだれかと同じ誕生日の人がいるということ。

想像以上の人数に驚いた
そして、個人的な直観と外れて、なんでだろうなと思っていた

ある数の中に何組同じ誕生日の人間がいるか?という問題

ルール:同じ誕生日の人がいた場合1組と数え、たとえ3人以上が同じ誕生日でも、1組とカウントするとする。

少ない人数の集団だと0組で、たくさんの数を集めると365組(うるう年を考えると366組)

ここで、なぜ120人の中に20組も同じ誕生日の人がいたか自分なりに考えてみた

ざっくりした見積もり

以下の考え方はだいぶ適当。365人を超えると直観的にあまり正しくなくなる
ほどほどの人数の時にしか正しく機能しないと思われる

例えば120人だとする。

ある一人に注目する。

自分以外の人間が約120人(正確には119)いる。この中に自分と同じ誕生日の人がいる期待値はだいたい

120/365(正確には119/365)で約1/3

この期待値に、集団に存在する人数をかけて、

1/3×120=40人ほどが同じ誕生日。

40人ということは20組に相当する。(いわゆるダブルカウントの分1/2する)

中間的な人数の場合、人数がN人としたら
N×(N-1)/(365×2)でだいたい見積もれるのではないかな……

※検索するとまじめに漸化式でサイトもあるが、このサイトはそこまでガチではない

それと現実には、特定の誕生日に人が集まり、逆にある誕生日には人が集まらない。

例えば年始である1/1が避けられる。
逆に、学年の区切りとなる4/2は好まれたりする

このように、実際問題として、誕生日のかたよりが生じる。

グラフ(追記)

N×(N-1)/(365×2)の式とプログラムを作ってシミュレーションした人数VS誕生日が同じペア(組):うるう年なしバージョンの結果を比べてみる

 

birthday1

 

N×(N-1)/(365×2)の式は、シミュレーションの結果よりもだいぶ高く評価される傾向にある。

例えば、124人の段階で、シミュレーションと比較して、N×(N-1)/(365×2)の式の結果は3割ほど多い人数となる。

また、206人の段階で、シミュレーションと比較して、N×(N-1)/(365×2)の式の結果は5割ほど多い人数となる。

100人以下なら、N×(N-1)/(365×2)の式の見積もりはまだ使えるかなといった感じ

エクセルファイル(結果)のダウンロード:simulation_k100000_d366-compare.xlsx

※ちなみに、120人の場合、誕生日が同じペアの期待値(シミュレーション)は15.80878組。120人の集団に20組の誕生日の組がいるというのは、だいぶ多いケースにあたる

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※追記:完成したアプリの紹介→同じ誕生日のペアがどのくらいいるかシミュレーション

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