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目次
モンテカルロシミュレーションの例
上のアニメーションはProcessingというプログラミング言語で書いています。
※シミュレーションを最初から見たい場合はページを再度読み込んでください。興味があれば、ソースコードを実際に動かしてみてください。
ソースコードは以下のようになります。
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 |
void setup(){ size(200, 260); colorMode(RGB,256); background(255); rect(0, 0, 200, 200); } int cy = 100; int cx = 100; int radius = 100; int totalcount=0; int count=0; void draw(){ clearToWhite(); for(int i=0;i<100;i++){ totalcount++; float x = random(200); float y = random(200); if ((x - cx)*(x - cx) + (y - cy)*(y - cy) <= radius*radius) { stroke(255,0,0);//red color count+=1; } else { stroke(0,0,255);//blue color } point(x, y); } textSize(12); textAlign(CENTER); fill(0,0,0); text("pi="+count+"/"+totalcount+"×4=",width/2,220); float pi=(float)count/totalcount*4; String pi_strig=nf(pi,1,6); text(pi_strig,width/2,240); } void clearToWhite(){ noStroke(); fill(255,255,255); rect(0,200,200,50); } |
※スローバージョン
一番目のシミュレーションでは、100点ごとに描画しています。一方で、以下のシミュレーションは1点ごとに描画しているので、その分遅くなります。
ソースコードは以下のようになります。
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 |
void setup(){ size(200, 260); colorMode(RGB,256); background(255); rect(0, 0, 200, 200); } int cy = 100; int cx = 100; int radius = 100; int totalcount=0; int count=0; void draw(){ clearToWhite(); totalcount++; float x = random(200); float y = random(200); if ((x - cx)*(x - cx) + (y - cy)*(y - cy) <= radius*radius) { stroke(255,0,0); count+=1; } else { stroke(0,0,255); } point(x, y); textSize(12); textAlign(CENTER); fill(0,0,0); text("pi="+count+"/"+totalcount+"×4=",width/2,220); float pi=(float)count/totalcount*4; String pi_strig=nf(pi,1,6); text(pi_strig,width/2,240); } void clearToWhite(){ noStroke(); fill(255,255,255); rect(0,200,200,50); } |
モンテカルロシミュレーションとは？
モンテカルロシミュレーションとは、乱数を用いたシミュレーションのことです。
解析的に解くことが不可能(または難解)な問題に対して非常に有効です。
(例1)円の面積の演算
半径1の円の面積を求めたいと考えたとする。
まず、円を囲む四角形につくります。
その四角形の中に入るように、点を落とします。
点が、円の中に入ったらカウントします。
(点が円の中に入った数)/(点を落とした数)で円の面積と四角形の面積の割合がわかります。
(点が円の中に入った数)/(点を落とした数)= (円の面積)/(四角形の面積)
最後に4を掛けます。(4は一辺が2の四角形の面積に対応します)
(円の面積)= (点が円の中に入った数)/(点を落とした数)×4
(例2)誕生日が同じペアの数 (期待値)
例えば、100人の集団を考えて、その中に同じ誕生日のペアが何組いるか考えます。
ある人の取りうる誕生日のパターンは365通りです。
別の人の取りうる誕生日のパターンも365通りです。
ある人と別の人の誕生日間に相関はありません。
そのため、この問題をまじめに考えるなら、以下の場合の数だけ考えないといけません。
365×365×365…通り
この問題をしらみつぶしで解く場合、365の100乗というあまりに大きな数字を扱う必要があります。(現在の普通のパソコンで、これだけ大きな数字を扱うのはほぼ無理でしょう)
さらに、うるう年を考え始めると問題はより複雑になります。
そこで発想を変えます。
100人の集団を用意します。
その100人に対して、乱数を用いて、誕生日を割り振ります。
そして、その中に同じ誕生日の人が何組いるかカウントします。
この手順を何度も繰り返してカウントを取ります。
最後に、平均化すれば、100人の集団の中に同じ誕生日のペアが何組(期待値)いるかわかります。
注意点
モンテカルロシミュレーションで得られる結果は、乱数を用いた近似的な解にすぎません。
厳密な解ではないので、誤差が生じます。
誤差を減らす簡単な方法は、サンプル数を増やすことです。
当然ではありますが、サンプル数を増やすとそれだけ時間がかかります。
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