サイコロが最小の回転数で、全面回るパターンを考えてみた

はじめに

「サイコロの面をあてるだけの簡単なお仕事」というアプリをリリースする際に、サイコロの回転パターンを真面目に考える必要があった。

その時の経験をもとに、この記事では、最小の回転数（5回分）でサイコロの6面全部を通る場合の数を考える。

※以下のようなケースは排除して考える

「↑」「↑」「↑」「→」「↑」「↑」

例えば、最初に同じ方向に3回回った状況下で、次に別の面を進むには、右側に90度回るか、左側に90度回るかの2パターンある。しかし、その次で今までに通ったことのない面に進もうとしても、どの面も通ったことがある面となる。つまり、最小の回転数で全面を網羅するパターンに該当しない。

いきなり結論

答えは、40通り（私が計算ミスをしていない限り）

考え方1：普通に考える

まず、最初の1回目の回転は、「↑」「→」「↓」「←」の4つの好きな方向に進める。

ここでは、最初に「↑」を選んだとする。

2回目の回転は、「↓」以外の「↑」「→」「←」の3通りが考えられる。

しかし、「↑」を選ぶ場合と、「→」「←」を選ぶ場合とで場合分けが生じる。

[1]2回目も「↑」の場合

3回目も「↑」を選ぶと、途中で詰むので、3回目は「→」「←」かの2通り。その後は、1通りに定まる（「↑」、「↑」）

[2]2回目が「→」「←」の場合

3回目で進める方向は2つあるので、2通り。
4回目でも進める方向は2つあるので、2通り。
5回目は自動的に定まるので1通り

以上をまとめると
4×（1×2×1×1＋2×2×2×1）＝40通り

考え方2：展開図で考える

サイコロの展開図のパターンは全部で11パターン存在する。

※上の図は、http://happylilac.net/zukei-rippotaitenkaizu.html
から借りてきている。（自分で一から作成するのは骨が折れるので……）

11通りある中で、一筆書きできるパターンはわずか4通り。（赤色か青色で囲まれている）

5、9、10、11の4つ。

ここで、9番目のパターンだけは、点対称ではない（図形の真ん中に画びょうを指して、180度回転させても一致しない）。そこで、このパターンを9´と呼ぶ。

5、9、9´、10、11（全部で5通り）

次に、これらの線対称の図形を考える（図形を裏側にひっくり返すことに対応する）

元の図形と、線対称の図形は、回転を考える場合にはべつものと考える必要がある。

5通り×2通り

※例えば、9番目のパターンの場合
（元の図形）「→」「↑」「↑」「→」「↑」「←」
（線対称の図形）「←」「↑」「↑」「←」「↑」

最後に図形全体を90度回したものも、回転を考えた時には、別個のものと扱う必要がある。これは、最初の一回目の回転で、「↑」「→」「↓」「←」の好きな方向を選べる自由度に相当する。

5通り×2通り×4通り＝40通り

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