グランパーレー法のシミュレーション(c++/c言語)

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はじめに

※目次用の記事:ギャンブルの賭け方の種類をまとめてみた

この世には、様々な賭け方が存在する。

そのうちの一つがパーレー法を変形させたグランパーレー法だ。

パーレー法をシミュレーション(c++/c言語)の記事でパーレー法のシミュレーションを取り扱ったが、ここでは、グランパーレー法のシミュレーションを取り扱う。

グランパーレー法とは

最小の賭け金額を自分で設定し、最初はこの最小の賭け金額からスタートする。
また、何連勝したらゲームをリセットするか自分で設定する。

負けた場合:次の勝負の賭け金は、設定した最小の賭け金額に戻す
勝った場合:次の勝負の賭け金は、現在賭けている2倍の金額にする(ただし、設定した連勝が達成できた場合、最小の賭け金額に戻す)

+α(アルファ)の部分が加わるのが、パーレー法と異なる部分。

+α(アルファ)の部分は、最もスタンダードな流儀だと+1にする

グランパーレー法の具体例

ルールだけ、説明してもイメージがつかめないと思うので、具体例を挙げる。

勝率が50%で払戻金が2倍の勝負として、コインの表裏の賭けなどをイメージしてください。

また、5連勝したら、いったん賭け金を最小額に戻すとする。

もしも5連勝したら、以下のテーブルのように賭け金を
1→3→7→15→31
と増やしていく

勝敗 賭け金 累計損益
1 1
3 4
7 11
15 26
31 57

最終的な利益は+57となる

次に、途中で負けた場合を考える。

例として、4連勝した後、負けた時を考察する。

勝敗 賭け金 累計損益
1 1
3 4
7 11
15 26
× 31 -5

このように、万が一途中で負けた場合は、どんなに途中で勝っていても、最終的な損益はマイナスとなる。

つまり、連勝して勝負を一度リセットできれば、利益が十分確保できる。だが、負ければ、途中の過程がどうであれ、今までの利益が吹っ飛んだ上に損がでる。

※どれだけ損がでるかは、直前どれだけ連勝していたかで変化する。下で紹介するテーブルを見ていただくとわかるが、式は(直前で連勝していた回数)+1となる。4連勝した後で負けた場合をこの式に当てはめると、4+1=5だけ損を出す

期待値検証

直観的に考えてもわかるが、勝負して得られる利益の期待値は0である。

ここでは、5連勝までの期待値を考えてみる

連勝回数 確率 累計利益 期待値
0 0.5 -1 -0.5
1 0.25 -2 -0.5
2 0.125 -3 -0.375
3 0.0625 -4 -0.25
4 0.03125 -5 -0.15625
5 0.03125 57 1.78125
    期待値合計 0

連勝回数0は負けを意味し、確率は1/2

連紹回数1は、2連勝ではないが、1度勝利する確率を意味し
1/2-1/4で1/4(0.25)となる

連勝回数4は、5連勝ではないが、4連勝する確率を意味し、
1/32-1/16=1/32

最後の5連勝の部分は、そのまま5連勝できる確率。
(正確に言えば5連勝以上できる確率)
1/2を5乗した1/32

それぞれの事象が起こる確率に累計利益をかけて、その期待値を取るとゼロになる。

グランパーレー法の検証

以下では2つのプログラムを紹介する。

言語はC++で作ったが、C言語としてコンパイルしても動くと思う

※このプログラムを組んだ人間は、大学時代に少しプログラムをかじった程度の戦闘能力しかない

グランパーレー法個別シミュレーション

 

プログラムで使用している変数の説明

マーチンゲール法(2倍賭け)の破綻までのシミュレーションで紹介したプログラムと同じ変数の置き方をしている

i_max:勝負の回数
w:賭けたお金の戻る倍率を指定。ここでは2倍を指定
p:勝率を指定。ここでは1/2の確率なので50。
m_min:かけ金を指定
m_int:で手持ちの軍資金を指定

※ここではm_min=1でm_int=1000と、最小の賭け金の1000倍を所持していると考えている。
例えば、最小の賭け金が1000円(千円)だとするなら、手元の軍資金は、1000000円(百万円)。割と現実的な設定だと思われる。

r:乱数(0~100の乱数)

※乱数rが勝率pより下の数で収まるなら勝ちの判定がでる。

そして、勝負を続けていくうちに、負け続けることもあるだろう。
そしてついに、賭けしようにも手持ちのお金が足りなくなるかもしれない。
この場合、これ以上勝負ができなくなり、プログラムは終了する。(破綻判定)

つまり、借金はNG

c_max:何連勝したら、いったん最小の賭け金に戻すか?

※ここではc_max =5として、5連勝した場合いったんリセットする。

※(グラン)マーチンゲールとパーレー法で作ったプログラムが微妙に不便だった以下の点を改善している。

  • 表示される「賭け金」の意味を「今回の勝負に必要な賭け金」に変更。(以前のプログラムは、「次の勝負に必要な賭け金」という意味で使われていたので、ちょっとわかりづらかった)
  • 勝ち(win)か負け(lose)かわかるように表示
  • 何連勝しているかわかるように表示される

実際にプログラムを走らせると以下のような結果となる
勝負回数i_maxは100000(10万回)までとする

#倍率は2.000000 勝率は50.000000 最小の賭け金は1.000000 手持ちのお金は1000.000000
1回目 賭け金は1.000000 lose 手持ちのお金は999.000000
2回目 賭け金は1.000000 win(1連勝) 手持ちのお金は1000.000000
3回目 賭け金は3.000000 win(2連勝) 手持ちのお金は1003.000000
(省略)
43280回目 賭け金は15.000000 win(4連勝) 手持ちのお金は34.000000
43281回目 賭け金は31.000000 lose 手持ちのお金は3.000000
43282回目 賭け金は1.000000 win(1連勝) 手持ちのお金は4.000000
43283回目 賭け金は3.000000 lose 手持ちのお金は1.000000
43284回目 賭け金は1.000000 lose 手持ちのお金は0.000000
43284回目で手持ちのお金が足りません

※srand((unsigned)time(NULL));の部分で時間を参照した上で乱数を発生させている。
そのため、実行するタイミングで結果が変化する。

グランパーレー法の期待値シミュレーション

上のプログラムを何度も走らせて期待値や破綻する率をもとめたい

そのためのプログラムは以下のようになる

 

プログラムで使用している変数の説明

b_pro:破綻率
※ここでいう破綻率とは手持ちのお金が、2倍賭けに耐えられない状況を意味する。借金してお金を用意することはできないとする。

i_exp: 破綻するまで何回勝負ができるかの期待値
m_exp: 勝負が終わった段階で持っているお金の期待値
k_max:試行回数。
※k_maxを大きくすればするほど、正確な期待値が求まる。

以下では、k_max=20000、i_max=100000で指定。
試行回数2万回、勝負回数10万回。
手持ちのお金は1000でスタート(最小の賭け金額は1)

c_max=5の場合(5連勝でストップをかける)

勝負回数は100000
試行回数は20000
破たん回数は13350
破たん率は66.750000%
破たんするまでに行える勝負回数の期待値(i_exp)は52511.154300
破たんする直前で持っているお金の期待値(m_exp)は997.185200

破綻率は66.75%
※参考:パーレー法(5連勝でストップをかける)で破たん率は42.36%

c_max=3の場合(3連勝でストップをかける)

勝負回数は100000
試行回数は20000
破たん回数は6418
破たん率は32.090000%
破たんするまでに行える勝負回数の期待値(i_exp)は84669.842800
破たんする直前で持っているお金の期待値(m_exp)は1001.777100

破綻率は32.090000%
※参考:パーレー法(3連勝でストップをかける)で破たん率は11.485%

当たり前だが、単なるパーレー法と比べて、+αされている分、破綻率が高い。これは、早く資金が尽きて破綻しやすくなることを意味する。

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